Рассмотрены такие ключевые вопросы современной космологии как проблема космологической сингулярности, начальные условия космологической эволюции и гипотеза квантового туннелирования. Анализируется связь между новейшими тенденциями в космологии и идеями Л.Д. Ландау, выдвинутыми много лет назад. Особое внимание уделяется осцилляторному приближению к сингулярности, процессам квантового туннелирования, определяющим волновую функцию Вселенной в присутствии комплексного скалярного поля, и роли квантовых поправок в этих процессах. Кроме того, исследуется классическая динамика замкнутых космологических моделей с действительным скалярным полем с точки зрения таких ее свойств как хаос, фрактальность и возможность избежать сингулярности.